Matematikçi anlatır sınıf dinler

Anlamak, öğrenmek,
Anlatabilmek, öğretebilmek...

Bilim demek biraz da "tanım" demek.
TDK, tanım'ı şöyle tanımlamış: "Bir kavramın niteliklerini eksiksiz olarak belirtme veya açıklama, tarif"

İletişim.. Kodlama.. Kodu çözme..

"Matematikte Dil ve Söylem" adlı bir araştırmaya rastladım (Recai Akkuş, Abant İzzet Baysal Üniversitesi, 2015).

Araştırmadaki sınıf içi diyaloglar ilgi çekici.
Sizleri bu konuşma çözümleriyle baş başa bırakıyorum. Hayal edin, şimdi matematik dersi işlenen bir sınıftasınız:

45.00. Öğretmen: Evet dolayısıyla, küre üzerinde paralellerden bahsederken farklı bir tanımlama gelmesi gerekiyor… ve düzlem üzerinde bildiğiniz bazı şeylerin, küre üzerinde geçerliliğini … kaybedip etmediğini görmemiz lazım…(Sts: ama kaybetmiş, olmuyor…)
Şimdi şöyle bakalım (Tahtaya yürüyor,) Zaferin söylemiş olduğu şey şu, (Tahtada göstererek) eğer 1 ve 2 birbirine paralel ise, ve bir üç birbirine paralel ise 2 ile 3 birbirine paralel olmalıdır. (Sts: Ama kesişiyor). Demi? …Bu bizim düzlemde bildiğimiz şey ama.
45.40. Yadigar: Evet, uzayda geçerli değil.
45.41. Emre: Bu da düzlemde hocam.
45.48. Emre: Şimdi bunu mu tartışalım hocam, küre düzlem mi değil mi?
45.51. S: Düzlem ama, farklı bir düzlem, değil mi?
45.56. S: Artık bizi öyle bir yetiştirdiniz ki, herşeye artık itiraz ediyoruz.(Gülüşmeler)

***

Öğrenciler, 66 – 28 = __, problemini çözüyorlar. Öğretmen, Ali’den çözümünü sınıfa anlatmasını istiyor.
Ali: (Projeksiyondaki asetatın üzerine yazıyor) 28’i 66’nın altına yazarız. (Konuşurken, 66 – 28’i alt alta yazıyor). Ve çıkartırız….6 ve 8’i çıkardım. 60 ve 20 kaldı geriye (parmağını önce 60’ın daha sonra da 20’nin üzerine koyuyor). Ve 60’tan 20 çıkarırsak, 40 kalır. (işaret parmağını tutuyor). Ve hala 8 çıkarmanız gerekiyor. Yani, çıkardık,…46 kaldı. Eğer, 6’yı geri yerine koyar ve şu 6’yı çıkarırsanız (46’nın içindeki 6’yı gösteriyor) ve tekrar 40’a ulaşırsınız ve hala 2 çıkarmanız gerekir, dolayısıyla, 39 (parmaklarını sayıyor) sonra 38 (38 yazıyor).

Açıklama yaparken Ali bir taraftan yazıyor bir taraftan işaret ediyor. Sözlü ifadelerini ve vücut dilini fikirlerini herkese açık hale getirmek için birlikte kullanıyor. Ne söylediğinin tam olarak anlaşılması için, konuştuğu matematiksel nesneye işaret ediyor (Eğer, 6’yı geri yerine koyar ve şu 6’yı çıkarırsanız (46’nın içindeki 6’yı gösteriyor)). Bu durumdaki, “Eğer, 6’yı geri yerine koyar ve şu 6’yı çıkarırsanız” cümlesi, söylemin ifade edilen odağı olmaktadır. Ali, devamında hangi 6 hakkında konuştuğunu netleştirmek için 46’nın içindeki 6’yı işaret ediyor. Onun bu açık olma teşebbüsü, 46’nın içindeki 6’yı göstermesi, işaret edilen (eşlik eden) odak olarak adlandırılmaktadır.
Dersin devamında, öğretmen, Ali’yi dinledikten sonra, Ali’nin etkili bir çözüm yolu bulduğunu fark ediyor ve bu yöntemi diğerlerinin de öğrenmesini istiyor. Dolayısıyla, sözü alıp Ali’nin söylediklerini tekrar etmek yerine, sınıfın sorusu olup olmadığını soruyor. Bir öğrenci anlamadığını söylüyor ve öğretmen Ali’den tekrar etmesini istiyor. 

Ali: 66’yı 28’in altına yazdık. 6’yı ve 8’i kaldırdık ve 20’yi çıkarırsak, 60’dan, 40 kalır. Ve 6’yı geri eklersek 46 eder. Ama hala 8 çıkarmak zorundayız. Önce o 6’yı çıkarıyoruz, şimdi 40’a tekrar geldik ve hala 2 çıkarmamız gerekecek.
Elif: Fakat, 6’yı ve 8’i neden kaldırdın?
Ali: Çünkü daha kolay.
Öğretmen: (Öğretmen sınıfa göz atarak, diğerlerinin hala Ali’nin ne yaptığını anlamamış olacaklarına karar veriyor) Tamam, yan tarafa ne yaptığını adım adım yazar mısın? Belki, bu bizim görmemizi sağlar. 66 eksi 28 yerine sen ne yaptın? 

Ali ilk açıklamasında birinci tekil şahıs kullanarak, “6 ve 8’i çıkardım” diye ifade ederken, ikinci açıklamasında “6’yı ve 8’i kaldırdık” şeklinde ifade ediyor. Burada iki tane durum söz konusu: birincisi, Ali, kendi bulduğu bir strateji olduğunu belirtmek için, ilk açıklamasında birinci tekil şahıs kullanıyor. İkincisi ise, “çıkarmak” yerine “kaldırmak” kelimesinin durumu anlatmak için daha betimleyici olduğuna karar veriyor. Bu kararı, Elif’in sorusundan önce veriyor; öyle ki, büyük bir ihtimalle 6 ve 8’in kaldırılması durumu bütün sınıfa karışık gelmiş olacak ki, Elif’in sorusunu fırsat bilen öğretmen, Ali’den yaptıklarını ayrıntılı olarak açıklamasını ve söylediklerini tek tek yazmasını istiyor. Bu durumda, Ali’nin kastettiği şeyi tam olarak anlamanın yolu, söylediklerinin somutlaştırılması olmaktadır. Buna da karar veren öğretmen oluyor çünkü ortamdaki tartışmayı hem dışardan hem de grubun içerisinden biri olarak takip ediyor ve iletişimin etkililiğini değerlendiriyor. 

Ali: 60’dan 20 çıkarsa...(yan tarafa dikey olarak (alt alta) 60 – 20 yazıyor ve öğretmene bakıyor).
Öğretmen: Ne elde ettiğini yazar mısın? (alta 40 yazıyor). Tamam, sonra ne yaptın?
Ali: Sonra 6’yı geri yerine koyduk. Bu da 46’ya eşit oldu (40’ın yanına + 6 yazıyor). Ve hala 8 çıkarmamız gerekiyor, yani, 40’a tekrar geldik ve, şey, 2 çıkarırsan, 2 daha çıkarman gerekir, dolayısıyla 38 elde ettik. Öğretmen: (sınıfa). Anladınız mı? (bekliyor). Bu kısım hakkında ne söylediğini anladınız mı? Dedi ki (projeksiyonu kullanmak için sınıfın önüne geliyor) şu 46’yı şuraya yazalım (yukarıya 46 yazıyor). İşte bunu elde ediyor ve sonra 40’a tekrar gitmem gerekiyor dedi.
Tamam, neden 40’a tekrar gittin?
Ali: Çünkü, şu 6’yı çıkarmıştık, çünkü 8 çıkarmak zorundasın ve hala daha 2 çıkarmamız gerekiyor.
Öğretmen: Onu nasıl yaptığını anladınız mı?
Sınıf: Eveet.
Öğretmen: (Uzun bir bekleyiş) İlginç bir yol. Teşekkürler. 

***

Aşağıdaki diyalog, matematik öğretmenliğinde okuyan öğretmen adaylarının Öklid dışı geometri hakkındaki tartışmalarından alınmıştır. Tartışma, Öklid aksiyomlarının top üzerindeki karşılıklarını bulmaya yönelik bir etkinlik üzerine kuruludur. Bu diyalogtan önce, öğretmen adayları grup içerisinde tartışmalarını tamamlamış ve paralellik aksiyomu hakkındaki grup görüşlerini paylaşmışlardır. Küre üzerinde paralel yaylar çizilip çizilemeyeceğine dair farklı görüşler sunulmuştur. En son gelinen noktada ise, öğretmen adayları farklı uzayda çalıştıkları için bazı şeylerin değişmesi gerektiğine karar vermişlerdir.

43.13. Umut: Hocam, biz şimdi paralellik tanımını, sadece bir düzlem üstünde olan tanımı yazıyoruz.
43.21. Öğretmen: Olabilir, işte küre üzerinde paralelliği nasıl tanımlayacağız?
43.24. Umut: İşte onu tanımlamamız için şunun (eliyle tahtayı göstererek) paralel olup olmadığını bilmemiz gerekiyor.
43.29. Öğretmen: Eğer paralelliği tanımlarsanız, bunun paralel olup olmadığına karar verebilirsiniz.
43.36. Umut: Ama nasıl yapacağız ki, küre üstünde?
43.41. S: Paralelliğin tanımını yapacağız.

43.50. S: Hocam, kürede mi paralelliği tanımlayacağız? 

Bu noktada, öğrencilerin dikkate almadığı ve öğretmenin vurgulamaya çalıştığı durum, matematikte tanımın önemli olduğudur. Diğer bir deyişle, paralelliğin tanımı yapılmadan, iki doğrunun (veya küre üzerindeki iki yayın) paralel olup olmadığına karar verilemez.

46.03. Öğretmen: Evet, dolayısıyla, burada özellikle küre üzerinde paralellerden bahsederken, veya paralellikten bahsederken …..kuralımızın ne olduğuna karar vermemiz lazım…..eğer bu paralel ise,….çünkü birbirini kesmeyen doğrular, “……” şöyle bir tanım yapacağız. Yok diyorsanız ki, her noktasına eşit uzaklıkta olan (Tahtaya çiziyor), o zaman, … ona göre bir tanım vereceksiniz.
46.46. Umut: Hocam bir şey söyleyebilir miyim? Bu kürenin üstünde üçgen çizdiğimiz zaman iç açıları toplamı 180 olmuyor. Bu değişti. (Öğrt.: Evet; Emre: Biz onu aştık zaten) Dörtgende çok büyük bir ihtimalle değişiyor. (Öğrt.: Evet) Yani, bizim şu ana kadar
gördüğümüz düzlem üzerindeki, düz düzlem üzerindeki geometri bilgilerimizin çoğu değişiyor. O zaman paralellik de değişecektir, büyük ihtimalle. O zaman biz bu paralelliğe daha önce bildiğimiz düz düzlem üstündeki paralellik bilgilerimizle bakamayız. (Öğrt.: Kesinlikle). Daha farklı bakış açısı getirmeliyiz, Ozaman, birbirine aynı uzaklıktadır, ya da kesişmiyordur, diye şeyler çok fazla kriter olmamalı.
47.22. Öğrt.: Evet, o halde nasıl bir kriter getireceksiniz? 
47.36. Sevinç: İyi de geometride paraleller, birbirini kesmeyen şeyler (eliyle havada göstererek), sadece düzlemde birbirini kesmeyen şeyler, aynı şekilde düşünürsek (Elif: Nasıl yaaa? Dünya üzerindeki paraleller?) Tamam.
47.49. Öğrt.: Arkadaşınız dünya üzerindeki paralellerden bahsediyor.
47.51. Sevinç: Dünya üzerindeki paralellere bakarsak, ne kadar yukarı çıkarsak çıkalım, ya da ne kadar aşağı inersek inelim, her noktadaki uzaklıklar eşit oluyor. (Elif: Tamam). E, tamam, onu diyorum ben.
48.12. Öğrt.: Şimdi, dünya üzerindeki (Tahtaya şekil çiziyor) (Öğrenciler konu hakkında birbirleri ile konuşuyorlar, ses anlaşılmıyor). Şimdi, sizin iddianız, dünya üzerinde, şuradaki mesafe ile şuradaki mesafenin birbirine eşit olduğu, demi? (Sevinç: Hıı hıı, evet). Böyle olması gerekiyor. Ve dolayısıyla buradakiler de aynı şekilde. Veya eğer üsttekini düşünecek olursanız, bunlar da bir şekilde eşit uzaklıkta olması gerekiyor. (Emre: Evet-Diğer öğrenciler gülüyor). Yani tanımınız bu mu?
49.22.Umut: Hocam burada, uzak değil eşitlik [eşit değil uzaklık], ayrıca kesişmiyorlar, paralellik nedeni olarak bunları söyleyebiliriz ama, sizin çizdiğiniz de öyle, yani, uzaklık eşit olmasa da onlar da kesişmiyor. (Öğrt.: Evet). Orada da bir paralellik nedeni var aslında.
49.43. Elif: Demekki, paralel, küre üzerinde kesişip kesişmediğine göre paralel diyemeyeceğiz. Başka bir şey üreteceğiz.
49.49. Umut: Evet o kriter olamaz o zaman.
49.52. Sevinç: Zaten az önce uzaklığı almadık mı?
49.53. Zahide: Evet!
49.55. Sevinç: İşte, az önce halletmedik mi arkadaşlar!? (Gülerek).
49.58. Umut: yok henüz halletmedik.(Öğrenciler gülüşüyor)

50.02. Elif: Biz halletmemiştik (öğrenciler gülüşüyor). Biz halledememiştik daha (gülerek). 

***

50.12. Öğrt.: Şimdi, Umut’un söylediğine dönelim. Biz şu anda düzlem üzerinde değiliz.
(Emre: Evet hocam, öyleymiş). Şimdi, dünya veya küre üzerindeyiz. Dolayısıyla, ….şöyle düşünelim (tahtaya çiziyor). Şu iki nokta arasındaki uzaklık, aslında şu değil. Şöyle büyük ihtimalle. Yani biz şuna bakacak olursak, şu iki nokta arasındaki uzaklığı (Öğretmen tahtaya birşeyler çiziyor)-(Öğrenciler (kendi aralarında): Sen şurada duruyorsun, düz gibi duruyorsun, ama, bilmeyen bilemez, -doğru aslında) Evet, biz şu iki nokta arasındaki uzaklığı şu şekilde algılamıyoruz. Artık bu değil. Dolayısıyla, iki nokta arasındaki uzaklık buradaki yay kadar, yayın uzunluğu kadar. Peki bu yayın özelliği nedir?
51.39. S: Onu da yine şu şekilde düşünebiliriz…(ses kayboluyor)
51.46. Emre: Bir özelliği mi olması gerekiyor hocam?
51.48. Öğrt.: Yani, yay, mesela, niye şu şekilde gitmiyor? …niye şu şekilde değil de bu
şekilde gidiyor? Ya da bu şekilde değil de şu şekilde gitmiyor?
52.03. Emre: En kısa mesafe hocam…
52.07. Elif: Dediğinizi anlamadım, nasıl yani?
52.09. Umut: Ben de, daha doğrusu ne sorduğunuzu anlamadım.
52.11. Öğrt.: şimdi, biz iki nokta arasındaki uzaklığı bunu aldık. Niye buradan gitmedik,
veya buradan gitmedik? (Çiziyor)
52.20. Sınıf: (Aynı anda birşeyler söylüyorlar, anlaşılmıyor)
52.20. Öğrt.: Eşit uzaklıkta mı şimdi?
52.21. Emre: Tam dik mi hocam?
52.25. Umut: O tam bir küre ise hocam eşittir.
52.27. Emre: Ya, o doğru tam geçmiyor. Çubuk tam geçmiyor demi hocam? (Öğrt.: Nereden?) Çaptan geçmiyor demi?
52.32. Öğrt.: Yok çaptan geçmiyor.
52.34. Emre: İşte kuş uçuşu hocam.
52.36. Öğrt.: Ne demek kuş uçuşu?
52.38. Emre: En yakın mesafe.
52.39. Öğrt.: En yakın mesafe?
52.40. Emre: Evet
52.41. Öğrt.: Dolayısıyla, küre üzerinde iki noktayı birleştiren yay uzunluğu, aslında o iki noktayı birleştiren (Umut: en kısa mesafe), en kısa mesafe olmuş oluyor. Peki biz düzlemde doğruyu nasıl tanımlamıştık? Noktalar kümesi hariç!

***

01.03.37. Emre: En kısa mesafe ise olur.
01.03.40. Sevinç: En kısa mesafe olması gerekmiyor ki. Küre yüzeyinden gidiyorsun (topu alarak) yani, şöyle düşün. Şurada bir tane paralelimiz var.
01.03.47. Emre: Ya, bak bu nokta ile bu nokta var ya, (top üzerinde çizerek) böyle çizdiğimi düşün. Ben en kısa mesafe derken şu doğruyu bahsediyorum. Şuradan veya buradan bahsetmiyorum. (Sevinç: Tamam) En kısa mesafe ise eşit olur. (Umut: Hayır, şimdi, o daha farklı)
01.04.00. Sevinç: Şimdi, şuradan alta doğru beşinciyi aldık. Buradan da beşinciyi aldık ve şu iki noktayı birleştirdik.
01.04.06. Emre: (Ayağa kalkarak, Sevinç’in yanına geliyor) tamam o iki noktayı şöyle birleştirdiğini düşün. (Sevinç: Hayır) En kısa mesafe olarak birleştireceksin yani.
01.04.14. Sevinç: hmm, tamam, olur, orada da bir çember oluşturuyoruz yani.

01.04.22. Öğrt.: Yani o paralelleri birleştirdiğimiz zaman mı?
01.04.24. Sevinç: Paralelleri birleştirdiğimiz zaman da eksenimiz değişiyor, bu sefer de, ekvator olarak onu almıştık demi, şimdi de ekvator olarak, şu merkezdeki her neyse, o değişiyor, bu sefer de onu almamız gerekiyor. 



---
Fatih Gökler ile Koçluk için: go@gokler.co
http://goklerkocluk.com
---

Matematikçiler nasıl düşünür

"Taslak notlar" arşivimi karıştırırken 2 yıl önce yarım bıraktığım bu yazıya rastladım. Neden böyle uzunca bir aktarım yapmak istediğimi ve neden en son cümleyi öyle yarım -havada bıraktığımı hiç hatırlamıyorum. Olduğu gibi aldım. Bakalım okunacak mı yorumlanacak mı :)

---

Ian Stewart (matematik profesörü) 

Bütün bunları nasıl düşünmüşler?

'Genç Matematikçiye Mektuplar' kitabından...

Sevgili Meg,

Çok şanslı olduğunu söyleyebilirim. Eğer Newton, Leibniz, Fourier gibi insanların isimlerini duyuyorsan birinci sınıf kalkülüs dersi öğretmenin konunun tarihinden anlıyor demektir. "Bütün bunları nasıl düşünmüşler?" sorun ise öğretmeninin kalkülüsü bir dizi vahiymiş gibi değil de (ki genellikle böyle yapılır) gerçek insanlar tarafından çözülen gerçek problemler olarak öğrettiğini gösterir.

Ama elbette ki "Onlar dâhilerdi" yanıtının yeterli olmadığı konusunda haklısın. Daha derinlere inebilir miyim bir bakalım. Sorun - ki çok önemli bir soru - genel olarak bakıldığında, "Matematikçiler nasıl düşünür?" anlamına geliyor.

Ders kitaplarına baktığında mantık olarak bütün matematiksel düşüncenin sembolik olduğu sonucu çıkartabilirsin. Sözcükler sembolleri ayırıp anlamlarını açıklamak üzere oradadırlar; konunun özü daha çok semboliktir. Doğru, matematiğin bazı alanları resimlerden faydalanır fakat bunlar ya sezgiler için rehber görevi görürler ya da hesaplamaların sonuçlarının görsel temsilcileridir.

Matematiksel yaratıcılıkla ilgili Jacques Hadamard'ın yazdığı mükemmel bir kitap var, The Psychology of Invention in the Mathematical field (Matematik Alanında Buluşun Psikolojisi). İlk olarak 1945 yılında yayımlanan kitap hâlâ satıyor ve günümüzde de bir hayli güncel. Bir tane almanı tavsiye ederim. Hadamard başlıca iki noktaya değiniyor. Birincisi matematiksel düşüncenin büyük çoğunluğunun. belirsiz görüntülerle başladığı ve ancak daha sonra sembollerle biçimlendirildiğidir. Söylediğine göre matematikçilerin yüzde doksanı bu şekilde düşünüyor. Geri kalan yüzde onu ise zamanlarının tamamını sembollere bağlı olarak geçiriyorlar. İkincisi ise matematikte fikirlerin üç aşamada ortaya çıktığıdır.

İlk olarak bir problem üzerinde yoğun bir bilinçli çalışma yürütmek, onu anlamaya çalışmak, çeşitli yaklaşım yolları keşfetmek, işe yarayacak bazı genel özellikler bulmak umuduyla örnekleri incelemek gereklidir. Genellikle bu aşama, problemin gerçek zorluğu ortaya çıktığı için umutsuz bir kafa karışıklığı ile çıkmaza girer.

Bu noktada problemi düşünmeyi bırakıp başka bir şey yapmak yardımcı olacaktır: bahçeyi kazmak, ders notlarını yazmak, başka bir problem üzerinde çalışmaya başlamak gibi. Böylecebilinçaltına asıl problem üzerinde düşünme ve bilinçli çalışmalarının karmakarışık hale getirdiği durumu düzenlemesine fırsat vermiş olursun. Eğer bilinçaltın başarılı olursa, tek yapmaya çalıştığı yolun bir kısmını kat etmek olsa bile, "omzuna dokunup" sana bulduğu sonuçları işaret edecektir. İşte bu, başının üzerindeki o küçük ampulün aniden yandığı o büyük "aha!" anıdır.

Son olarak, her şeyin biçimsel olarak yazıldığı, ayrıntıların kontrol edildiği ve yayımlanıp diğer matematikçilerin okuması için düzenlendiği bir başka bilinçli aşama daha vardır. Bilimsel bir eser (ve ders kitabı) yazmanın gelenekleri o "aha!" anının gizli kalmasını ve keşfin bilinen alanlardan tamamen mantıklı bir çıkarım olarak sunulmasını gerektirir.

Büyük matematikçiler arasında en sevdiğim olan Henri Poincare alışılmadık biçimde kendi düşünce süreçlerinden haberdardı ve bunları psikologlara anlatmıştı. İlk aşamaya "hazırlık", ikincisine "kuluçka dönemini takip eden aydınlanma" ve üçüncüye de "doğrulama" adını vermişti. Bilinçaltının görevini özellikle vurgulamış olup Mathematical Creation (Matematiksel Yaratıcılık) adlı denemesinden bilinen bir alıntı yapmak faydalı olacaktır:

On beş gün boyunca Fuchsian fonksiyonlarına benzeyen hiçbir fonksiyon olmadığını ispatlamaya çalıştım. O zamanlar çok cahildim; her gün masamda bir ya da iki saat boyunca oturur, bir sürü kombinasyon dener ve hiçbir sonuca ulaşamazdım. Bir akşam, her zaman yaptığımın tersine koyu bir kahve içtim ve uyuyamadım. Düşünceler kalabalıklar halinde yükselmeye başladı; çarpıştıklarını ve sabit bir kombinasyon oluşturan çiftlerin birbirine bağlandığını hissettim. Ertesi sabah, hipergeometrik serisinden gelen bir Fuchsian fonksiyon sınıfının varlığını tespit etmiştim; tek yapmam gereken sonuçları yazmak olmuştu, ki bu da yalnızca birkaç saatimi aldı.

Bu, Poincare'in "kendi bilinçaltı çalışmalarında bulunduğunu" hissettiği birkaç durumdan biriydi.

Kendi bilinçaltımı gözlemlediğimi hissetmemiş olmakla birlikte benim son zamanlarda yaşadığım bir deneyim de yine Poincare'in üç aşamalı modeline uyuyor. Birkaç yıl önce uzun süreli çalışma arkadaşım Marty Golubitsy ile birlikte ağların dinamiği üzerinde çalışıyorduk. "Ağ" derken, bazılarının diğerlerinin davranışını etkilediği "bir araya gelmiş" bir dinamik sistemler grubunu kastediyorum. Sistemlerin kendisi ağın düğimleridir - bunları küçük yuvarlaklar halinde düşünün - ve iki düğüm, eğer biri (kuyruk tarafındaki) diğerini (baş tarafındaki) etkiliyorsa bir ok ile birleşir. Örneğin her bir düğüm bir organizmadaki bir sinir hücresi olabilir ve oklar da sinyallerin bir hücreden diğerine geçtiği bağlantılardır.

Marty ve ben bu ağların özellikle iki yönüyle ilgileniyorduk: eşzamanlılık ve faz ilişkileri. Eğer temsil ettikleri sistemler aynı anda tam olarak aynı şeyi yapıyorsa iki düşüm eşzamanlıdır. O koşan köpek çapraz bacaklarını eşzamanlı kullanmaktadır: sol ön ayak yere dokunurken sağ arka ayak da dokunur. Faz ilişkileri de benzerdir, ancak zamanda bir gecikme söz konusudur. Köpeğin sağ ön ayağı (sol arka ayağıyla benzer şekilde eşzamanlı hareket eder), sol ön ayağından bir yarım döngü sonra yere dokunur. Bu, yarı dönemli bir faz kaymasıdır.

Eşzamanlılık ve faz kaymalarının simetrik ağlarda yaygın olduğunu biliyorduk. Aslında, dört bacaklı hayvanların bütün standart yürüyüşlerini açıklayabilen akla yatkın tek simetrik ağ üzerinde çalıştık. Ve bir şekilde, başka bir neden aklımıza gelmediği için, eşzamanlılık ve faz kaymalarının meydana gelmesi için simetrinin de gerekli olduğunu varsaydık.

Daha sonra Marty'nin doktora sonrası araştırma görevlisi arkadaşı Marcus Pivato eşzamanlılık ve faz kayması bulunup hiçbir simet