Matematikçiler nasıl düşünür

"Taslak notlar" arşivimi karıştırırken 2 yıl önce yarım bıraktığım bu yazıya rastladım. Neden böyle uzunca bir aktarım yapmak istediğimi ve neden en son cümleyi öyle yarım -havada bıraktığımı hiç hatırlamıyorum. Olduğu gibi aldım. Bakalım okunacak mı yorumlanacak mı :)

---

Ian Stewart (matematik profesörü) 

Bütün bunları nasıl düşünmüşler?

'Genç Matematikçiye Mektuplar' kitabından...

Sevgili Meg,

Çok şanslı olduğunu söyleyebilirim. Eğer Newton, Leibniz, Fourier gibi insanların isimlerini duyuyorsan birinci sınıf kalkülüs dersi öğretmenin konunun tarihinden anlıyor demektir. "Bütün bunları nasıl düşünmüşler?" sorun ise öğretmeninin kalkülüsü bir dizi vahiymiş gibi değil de (ki genellikle böyle yapılır) gerçek insanlar tarafından çözülen gerçek problemler olarak öğrettiğini gösterir.

Ama elbette ki "Onlar dâhilerdi" yanıtının yeterli olmadığı konusunda haklısın. Daha derinlere inebilir miyim bir bakalım. Sorun - ki çok önemli bir soru - genel olarak bakıldığında, "Matematikçiler nasıl düşünür?" anlamına geliyor.

Ders kitaplarına baktığında mantık olarak bütün matematiksel düşüncenin sembolik olduğu sonucu çıkartabilirsin. Sözcükler sembolleri ayırıp anlamlarını açıklamak üzere oradadırlar; konunun özü daha çok semboliktir. Doğru, matematiğin bazı alanları resimlerden faydalanır fakat bunlar ya sezgiler için rehber görevi görürler ya da hesaplamaların sonuçlarının görsel temsilcileridir.

Matematiksel yaratıcılıkla ilgili Jacques Hadamard'ın yazdığı mükemmel bir kitap var, The Psychology of Invention in the Mathematical field (Matematik Alanında Buluşun Psikolojisi). İlk olarak 1945 yılında yayımlanan kitap hâlâ satıyor ve günümüzde de bir hayli güncel. Bir tane almanı tavsiye ederim. Hadamard başlıca iki noktaya değiniyor. Birincisi matematiksel düşüncenin büyük çoğunluğunun. belirsiz görüntülerle başladığı ve ancak daha sonra sembollerle biçimlendirildiğidir. Söylediğine göre matematikçilerin yüzde doksanı bu şekilde düşünüyor. Geri kalan yüzde onu ise zamanlarının tamamını sembollere bağlı olarak geçiriyorlar. İkincisi ise matematikte fikirlerin üç aşamada ortaya çıktığıdır.

İlk olarak bir problem üzerinde yoğun bir bilinçli çalışma yürütmek, onu anlamaya çalışmak, çeşitli yaklaşım yolları keşfetmek, işe yarayacak bazı genel özellikler bulmak umuduyla örnekleri incelemek gereklidir. Genellikle bu aşama, problemin gerçek zorluğu ortaya çıktığı için umutsuz bir kafa karışıklığı ile çıkmaza girer.

Bu noktada problemi düşünmeyi bırakıp başka bir şey yapmak yardımcı olacaktır: bahçeyi kazmak, ders notlarını yazmak, başka bir problem üzerinde çalışmaya başlamak gibi. Böylecebilinçaltına asıl problem üzerinde düşünme ve bilinçli çalışmalarının karmakarışık hale getirdiği durumu düzenlemesine fırsat vermiş olursun. Eğer bilinçaltın başarılı olursa, tek yapmaya çalıştığı yolun bir kısmını kat etmek olsa bile, "omzuna dokunup" sana bulduğu sonuçları işaret edecektir. İşte bu, başının üzerindeki o küçük ampulün aniden yandığı o büyük "aha!" anıdır.

Son olarak, her şeyin biçimsel olarak yazıldığı, ayrıntıların kontrol edildiği ve yayımlanıp diğer matematikçilerin okuması için düzenlendiği bir başka bilinçli aşama daha vardır. Bilimsel bir eser (ve ders kitabı) yazmanın gelenekleri o "aha!" anının gizli kalmasını ve keşfin bilinen alanlardan tamamen mantıklı bir çıkarım olarak sunulmasını gerektirir.

Büyük matematikçiler arasında en sevdiğim olan Henri Poincare alışılmadık biçimde kendi düşünce süreçlerinden haberdardı ve bunları psikologlara anlatmıştı. İlk aşamaya "hazırlık", ikincisine "kuluçka dönemini takip eden aydınlanma" ve üçüncüye de "doğrulama" adını vermişti. Bilinçaltının görevini özellikle vurgulamış olup Mathematical Creation (Matematiksel Yaratıcılık) adlı denemesinden bilinen bir alıntı yapmak faydalı olacaktır:

On beş gün boyunca Fuchsian fonksiyonlarına benzeyen hiçbir fonksiyon olmadığını ispatlamaya çalıştım. O zamanlar çok cahildim; her gün masamda bir ya da iki saat boyunca oturur, bir sürü kombinasyon dener ve hiçbir sonuca ulaşamazdım. Bir akşam, her zaman yaptığımın tersine koyu bir kahve içtim ve uyuyamadım. Düşünceler kalabalıklar halinde yükselmeye başladı; çarpıştıklarını ve sabit bir kombinasyon oluşturan çiftlerin birbirine bağlandığını hissettim. Ertesi sabah, hipergeometrik serisinden gelen bir Fuchsian fonksiyon sınıfının varlığını tespit etmiştim; tek yapmam gereken sonuçları yazmak olmuştu, ki bu da yalnızca birkaç saatimi aldı.

Bu, Poincare'in "kendi bilinçaltı çalışmalarında bulunduğunu" hissettiği birkaç durumdan biriydi.

Kendi bilinçaltımı gözlemlediğimi hissetmemiş olmakla birlikte benim son zamanlarda yaşadığım bir deneyim de yine Poincare'in üç aşamalı modeline uyuyor. Birkaç yıl önce uzun süreli çalışma arkadaşım Marty Golubitsy ile birlikte ağların dinamiği üzerinde çalışıyorduk. "Ağ" derken, bazılarının diğerlerinin davranışını etkilediği "bir araya gelmiş" bir dinamik sistemler grubunu kastediyorum. Sistemlerin kendisi ağın düğimleridir - bunları küçük yuvarlaklar halinde düşünün - ve iki düğüm, eğer biri (kuyruk tarafındaki) diğerini (baş tarafındaki) etkiliyorsa bir ok ile birleşir. Örneğin her bir düğüm bir organizmadaki bir sinir hücresi olabilir ve oklar da sinyallerin bir hücreden diğerine geçtiği bağlantılardır.

Marty ve ben bu ağların özellikle iki yönüyle ilgileniyorduk: eşzamanlılık ve faz ilişkileri. Eğer temsil ettikleri sistemler aynı anda tam olarak aynı şeyi yapıyorsa iki düşüm eşzamanlıdır. O koşan köpek çapraz bacaklarını eşzamanlı kullanmaktadır: sol ön ayak yere dokunurken sağ arka ayak da dokunur. Faz ilişkileri de benzerdir, ancak zamanda bir gecikme söz konusudur. Köpeğin sağ ön ayağı (sol arka ayağıyla benzer şekilde eşzamanlı hareket eder), sol ön ayağından bir yarım döngü sonra yere dokunur. Bu, yarı dönemli bir faz kaymasıdır.

Eşzamanlılık ve faz kaymalarının simetrik ağlarda yaygın olduğunu biliyorduk. Aslında, dört bacaklı hayvanların bütün standart yürüyüşlerini açıklayabilen akla yatkın tek simetrik ağ üzerinde çalıştık. Ve bir şekilde, başka bir neden aklımıza gelmediği için, eşzamanlılık ve faz kaymalarının meydana gelmesi için simetrinin de gerekli olduğunu varsaydık.

Daha sonra Marty'nin doktora sonrası araştırma görevlisi arkadaşı Marcus Pivato eşzamanlılık ve faz kayması bulunup hiçbir simet